Ускоренный дрейф вихря в возбудимой среде

Ю.Е. Елькин^*), А.В. Москаленко^**), Ч.Ф. Стармер^***)

В численном эксперименте обнаружен новый тип дрейфа спиральной волны в однородной изотропной возбудимой среде. А именно, движение мгновенного центра вращения спиральной волны по окружности с переменной по модулю скоростью. Это может быть важно для понимания природы некоторых жизнеопасных сердечных аритмий.

Ключевые слова: автоволны, рециркуляторные аритмии, математическое моделирование.

Введение

Автоволновые процессы, в частности, волны возбуждения типичны для многих физических, химических и биологических систем. Например, одни режимы распространения волн возбуждения в миокарде обеспечивают нормальное функционирование сердечной мышцы. Другие же могут привести к некоторым опасным для жизни аритмиям. Этими соображениями определяется важность исследования распространения волн в возбудимых средах.

В двумерной возбудимой среде одним из типичных автоволновых процессов является спиральная волна, которая представляет собой искривленную полуволну. Обрыв этой полуволны носит название кончика спиральной волны. Траектория движения кончика характеризует данный автоволновой процесс [1].

До сих пор было известно три основных типа поведения кончика спиральной волны в однородной изотропной среде [4]:
1) его равномерное движение по окружности,
2) меандр - двупериодическое движение, при котором кончик движется по кривой типа циклоиды (эпициклоиде либо гипоциклоиде),
3) гипермеандр - сложное многопериодичное движение с хаотической траекторией кончика.

Нам впервые удалось наблюдать автоволновой режим, при котором кончик движется по траектории близкой к кривой типа циклоиды, но движение мгновенного центра вращения при этом замедляется. В результате наблюдается самопроизвольный постепенный переход похожего на меандр движения в круговое (самопроизвольная остановка дрейфа).

Новый вид поведения вихря был получен в численном моделировании 2-мерной возбудимой среде Алиева-Панфилова.

Исследуемая модель

В работе используется предложенная Алиевым и Панфиловым [2] простая двухкомпонентная модель возбудимой среды (модель Алиева-Панфилова):

Модель Алиева-Панфилова является модифицированной версией популярной модели ФитцХью-Нагумо [3] и, как указывают ее авторы, имеет ряд существенных отличий, которые приближают ее свойства к свойствам сердечной ткани. В работе [2] определены параметры модели, при которых система (1) лучше всего соответствует свойствам сердечной мышцы: k=8.0, e₀=0.01, m₁=0.2, m₂=0,3 и a=0,15. Наши эксперименты проводились при 0.11 < a < 0.23 с шагом Da=0.01. Отметим, что параметр a характеризует порог возбуждения среды. Моделирование выполнялось для двумерных сред 128х128 и 200х200 с граничными условиями Неймана. Для расчетов использовалась явная схема Эйлера c шагами по временной переменной Dt= 0.01 и по пространственным переменным Dx= 0.50. Положение кончика определялось как точка пересечения изолиний u=0.89 и v=0.50.

Результаты

На следующих двух рисунке показаны результаты моделирования для значения параметра a=0.18. На первом из них представлены положение спиральной волны в момент времени t=979.87t.u. и траектория кончика спиральной волны в промежутке времени от t=100.00t.u до t=979.87t.u.

На втором рисунке изображена часть траектории для промежутка времени от t=510.12t.u. до t=1510.12t.u. (траектория разделена на два рисунка из-за ее частичного наложения).

На рисунках хорошо видно, что расстояние между соседними петлями уменьшается со временем. Через некоторое время дрейф прекращается, и кончик спиральной волны описывает круг.

Результаты оказались полностью идентичными для сред размером 128х128 и 200х200. Это позволяет исключить предположение о том, что данный эффект обусловлен влиянием границы. При уменьшении шага интегрирования по пространству Dx в два раза описанный эффект воспроизводится.

При других исследованных значениях параметра a описываемое явление не наблюдалось.

Обсуждение

Можно предположить, что обнаруженное явление обусловлено выраженной зависимостью длительности потенциала действия в модели Алиева-Панфилова от частоты стимуляции.

Список литературы

1. Ю.Е. Елькин Волны возбуждения в биологических системах и кинематический подход к их изучению В: Компьютеры и суперкомпьютеры в биологии Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований 2002:247-273.

2. Aliev R., Panfilov A. A simple two-variable model of cardiac excitation. Chaos, Solitons & Fractals. 1996;7(3):293-301.

3. R. FitzHugh. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane. Biophys. J. 1961;1:445-465

4. A. Winfree. Varieties of spiral wave behavior: An experimentalist's approach to the theory of excitable media. Chaos 1991;1(3):303-334.